Aplicação da Lei Fundamental da Dinâmica de Rotações: A Máquina de Atwood

Aplicação da Lei Fundamental da Dinâmica de Rotações: A Máquina de Atwood

Nos estudos da mecânica translacional, ou dos movimentos lineares, estudamos uma aplicação das leis de Newton: a máquina de Atwood. Entretanto, consideramos um caso ideal, desprezando a massa da polia componente do sistema.

Por outro lado, nos estudos da mecânica rotacional, ou dos movimentos circulares, temos à disposição um formalismo físico e matemático: a lei fundamental da dinâmica de rotações, em outras palavras, a segunda lei de Newton para rotações. Com essa nova ferramenta, podemos melhorar a análise física da máquina de Atwood, agora levando em conta a massa da polia.

Neste post, vamos analisar as equações de movimento de um modelo mais geral da máquina de Atwood, considerando a massa da polia, mas sem incluir forças dissipativas.

Máquina de Atwood na Mecânica de Translações


A máquina de Atwood ideal é um sistema composto por uma polia de massa desprezível, uma corda inextensível (que não se alonga), e duas massas, $m_1$ e $m_2$. Dessa forma, a tensão $T$ na corda é a mesma em ambos os lados da polia.

Para o sistema ter uma aceleração $a$ é necessário que as massas envolvidas sejam diferentes. De forma arbitrária, vamos considerar $m_1 > m_2$. Assim,  conforme a orientação dos vetores ilustrados na imagem, ao adotar um sistema de coordenadas arbitrário em que o sentido positivo é para cima e o negativo para baixo, e aplicando a segunda lei de Newton a cada massa, podemos escrever o seguinte sistema de equações. A partir dele, podemos determinar a aceleração $a$ do sistema. Vejamos:

$$T - m_1g = - m_1 a$$

$$T - m_2g = m_2 a$$

Isolando $T$, temos:

$$T = - m_1 a + m_1g$$

$$T = m_2 a  + m_2g$$

Sabendo que a tensão $T$ é a mesma nas duas equações, podemos simplificar o sistema  dividindo uma equação pela outra. Assim, escrevemos:

$$1 = \frac{-m_1a + m_1g}{m_2a + m_2g}$$

Nosso interesse é isolar a variável $a$. Então,  da equação acima, podemos escrever:

$$m_2a + m_2g = - m_1a + m_1g $$

$$m_2a + m_1a = m_1g - m_2g$$

$$(m_2 + m_1)a= (m_1 - m_2)g$$

$$ a= \frac{(m_1 - m_2)}{m_2 + m_1}g$$

Essa expressão final mostra que o movimento do sistema depende unicamente das massas envolvidas, uma vez que a aceleração da gravidade $g$ é constante em qualquer situação nas proximidades da superfície terrestre.

Máquina de Atwood na Mecânica de  Rotações



Agora, vamos analisar o movimento do sistema da máquina de Atwood, mantendo as mesmas considerações sobre a presença de massas, $m_1$ e $m_2$, a corda inextensível e a ausência de forças dissipativas, mas desta vez levando em conta a massa da polia. Para isso, aplicamos a segunda lei de Newton a cada componente do sistema sujeito à aceleração $a$, ou seja, às massas $m_1$ e $m_2$, bem como à polia de massa $M$ e raio $R$. Entretanto, no caso da polia, devemos aplicar a lei fundamental da dinâmica de rotações (segunda lei de Newton para rotações), pois precisamos levar em conta a rotação da polia, que é gerada pelas forças de reação da tensão na corda em ambos os lados da polia (Veja a figura).

As equações do movimento para cada massa, $m_1$ e $m_2$, respectivamente, são:

$$T_1 - m_1g = -m_1a$$

$$T_2 - m_2g = m_2a$$

 A equação do movimento da polia de massa $M$ e raio $R$ é:

$$\tau_R = I\alpha$$

Onde $\tau_R$ é o torque resultante sobre a polia, $I$ é o momento de inércia da polia e $\alpha$ é aceleração angular da polia. No entanto, podemos relacionar todas essas grandezas angulares com as suas respectivas grandezas lineares. Por ora, vamos manter a escrita do momento de inércia $I$, pois não definimos uma forma explícita para a polia. 

Dessa forma, ao relacionar o torque resultante com as forças de tensão sobre a polia, adotando a rotação no sentido anti-horário como positiva — onde $T_1$ causa um torque no sentido anti-horário e $T_2$ causa um torque no sentido horário —, e considerando que as forças de tensão são aplicadas tangencialmente à polia, escrevemos:

$$\tau_R = \tau_1 - \tau_2$$

$$ \tau_R = T_1 R - T_2 R$$

$$\tau_R = (T_1 - T_2) R $$

Para a aceleração angular $\alpha$, temos:

$$\alpha = \frac{a}{R}$$

Assim, a equação do movimento da polia, em termos das grandezas lineares, fica:

$$(T_1 - T_2)R = I (\frac{a}{R})$$

$$T_1 - T_2 = I \frac{a}{R^2}$$

Portanto, temos um sistema com três equações: 

$$T_1 - m_1g = -m_1a \tag{1}$$

$$T_2 - m_2g = m_2a \tag{2}$$

$$T_1 - T_2 = I \frac{a}{R^2} \tag{3}$$

Resolvendo esse sistema de equações, determinamos uma expressão para a aceleração $a$ do sistema. Desse modo, ao subtrair a segunda equação da primeira equação, temos: 

$$T_1 - m_1g - (T_2 - m_2g) = -m_1a - (m_2a)$$

$$T_1 - T_2 - m_1g + m_2g= -(m_1+ m_2)a$$

Isolando a diferença entre as duas forças $T_1$ e $T_2$, escrevemos:

$$T_1 - T_2  = -(m_1+ m_2)a + m_1g - m_2g$$

Simplificando,

$$T_1 - T_2  = -(m_1+ m_2)a + (m_1 - m_2)g$$

Como a diferença entre as duas forças $T_1$ e $T_2$ aparece tanto na terceira equação do sistema de equações, quanto nesse último resultado, podemos igualar as duas expressões. Vejamos: 

$$ -(m_1+ m_2)a + (m_1 - m_2)g = I \frac{a}{R^2}$$

Isolando $a$, temos: 

$$ (m_1 - m_2)g = I \frac{a}{R^2} + (m_1 + m_2)a$$

$$ (m_1 - m_2)g = (\frac{I}{R^2} + m_1 + m_2)a$$

$$ a= \frac{(m_1 - m_2)g}{\frac{I}{R^2} + m_1 + m_2}$$

Essa última equação expressa que o movimento do sistema depende exclusivamente das massas envolvidas, $m_1$ e $m_2$, e das propriedades inerciais da polia, representadas pelo termo $\displaystyle \frac{I}{R^2}$.

Dessa forma, para o caso em que o momento de inércia $I$ da polia é considerado equivalente ao de um disco homogêneo, com o eixo de rotação perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro ($\displaystyle I = \frac{MR^2}{2}$), escrevemos:

$$ a= \frac{(m_1 - m_2)g}{\frac{M}{2} + m_1 + m_2}$$

Com essa expressão, determinamos a aceleração do sistema levando em conta a massa da polia, o que torna a análise mais realista em comparação ao modelo idealizado da máquina de Atwood.

Bibliografia

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 8ª ed. Rio De Janeiro: Ltc, 2009. v. 1

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. 1, Mecânica. São Paulo, Brasil: Blucher, 2018.

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