Momento de Inércia: Teorema dos eixos paralelos, Teorema dos eixos perpendiculares e Raio de giração.


Momento de Inércia: Teorema dos eixos paralelos, Teorema dos eixos perpendiculares e Raio de giração.

Neste post, exploraremos alguns resultados relevantes para o cálculo do momento de inércia de corpos rígidos. Inicialmente, demonstramos o teorema dos eixos paralelos, fundamental para determinar o momento de inércia quando o eixo de referência não passa pelo centro de massa do corpo. Em seguida, apresentamos o teorema dos eixos perpendiculares, aplicável a corpos planos. Esse teorema permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano, utilizando os momentos de inércia já conhecidos em dois eixos de referência que se interceptam em ângulo de 90°.  Por fim, abordamos uma generalização interessante: é possível calcular o momento de inércia de qualquer corpo rígido em relação a um eixo arbitrário, substituindo-o por um aro de mesma massa e com um raio equivalente à distância necessária para concentrar toda a massa do corpo de forma que seu momento de inércia seja preservado – o que definimos como raio de giração. Além disso, reformulamos os teoremas apresentados de modo a expressá-los em termos do raio de giração.

Teorema dos Eixos Paralelos





Na figura, é representado um corpo rígido genérico de massa total, $M$, cujo centro de massa ($CM$) está localizado na origem do sistema de coordenadas. Um elemento de massa, $dm$, está posicionado em relação ao centro de massa de acordo com o vetor $\bf{d}$ $ = (a,b)$, indicado em vermelho. Também é exibido a posição, em relação ao centro de massa, de um eixo de referência, que é perpendicular ao plano do corpo e paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, representada pelo vetor $\bf{h}$ $= (x,y)$ em azul. Por fim, o vetor $\bf{r}$, na cor preta, mostra a posição do elemento de massa $dm$ em relação a esse eixo de referência.

Nosso interesse é calcular o momento de inércia desse corpo rígido em relação ao eixo de referência. Para isso, precisamos calcular a contribuição infinitesimal, $dI$, para o momento de inércia de cada elemento de massa $dm$ localizado a um distância do eixo de referência, $r$, módulo do vetor $\bf{r}$. Assim, pela definição do momento de inércia, podemos escrever: 

$$dI = r^2 \cdot dm$$

Da geometria descrita na figura, podemos escrever o vetor $\bf{d}$, posição do $dm$ em relação ao $CM$, como uma soma entre os vetores $\bf{h}$ e $\bf{r}$.

$$\bf{d} = \bf{h} + \bf{r}$$

Daí,

$$\bf{r} = \bf{d} - \bf{h}$$

Assim, sabendo as componentes dos vetores $\bf{d}$ e $\bf{h}$ (veja a figura), conseguimos determinar as componentes do vetor $\bf{r}$. Vejamos:

$$\bf{r} = (a,b) - (x,y) $$

Logo,

$$\bf{r} = (a-x, b-y)$$

O módulo do vetor $\bf{r}$ é dado por:

$$r = \sqrt{(a-x)^2 + (b-y)^2}$$

Substituindo na primeira equação apresentada, temos:

$$dI = \left[ \sqrt{ (a-x)^2 + (b-y)^2 } \right]^2 \cdot dm $$

Simplificando e integrando ambos os membros da equação acima, escrevemos:

$$\int dI = \int   [(a-x)^2 + (b-y)^2]  \cdot dm $$

Daí,

$$ I = \int  [(a^2 - 2ax + x^2)+ (b^2-2by+y^2)] \cdot dm $$

Ajustando os termos dentro da integral de uma maneira conveniente, expressamos:

$$ I = \int  [(a^2 + b^2  - 2ax - 2by + x^2 +y^2)] \cdot dm $$

Assim,

$$ I = \int (a^2 + b^2) dm   -  \int 2ax dm - \int 2by dm + \int (x^2 +y^2) dm $$

Analisando termo a termo da equação acima, percebemos que:

$$ \int (a^2 + b^2) dm = \int d^2 dm = I_{CM}$$

Isto é, o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, $I_{CM}$;

$$ \int 2ax dm = 2aM \int \frac{x}{M}  dm = 0$$

É, pela definição, a coordenada x da localização do centro de massa de um corpo rígido. De forma análoga para a coordenada y, 

$$ \int 2ay dm = 2aM \int \frac{y}{M}  dm = 0$$

O centro de massa está localizado na origem do sistema de coordenadas, ponto $(0,0)$, então, o resultado das duas integrais acima é zero;

Por fim, o termo

$$ \int (x^2 +y^2) dm = \int h^2 dm$$

Sendo $h$ constante, podemos escrever

$$ \int h^2 dm = Mh^2$$

Portanto, o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo de referência paralelo e localizado a uma distância $h$ do eixo que passa pelo seu centro de massa é dado por:

$$I = I_{CM} + Mh^2$$

Teorema dos Eixos Perpendiculares



Na figura, é apresentado um corpo rígido plano com três eixos perpendiculares entre si, que se interceptam em um ponto comum, nesse caso, o centro de massa ($CM$) do corpo. Por conveniência, chamamos o eixo vermelho de $X$, o eixo amarelo de $Y$ e o eixo azul de $Z$. Também é ilustrado um elemento de massa, $dm$, do corpo rígido. As linhas tracejadas indicam as distâncias entre a posição do elemento de massa e os respectivos eixos. Para facilitar a compreensão, denominamos a distância representada em vermelho por $a$, a distância em amarelo por $b$ e a distância em azul por $c$.

Sem perda de generalidade, vamos calcular o momento de inércia do corpo em relação ao eixo $Z$. Sabemos que cada elemento de massa $dm$ contribui com um incremento $dI$ para o momento de inércia do corpo e, conforme definido acima, cada $dm$ está localizado a uma distância $c$ do eixo $Z$. Assim, podemos escrever:

$$dI = c^2 dm$$

Daí, integrando ambos os membros, obtemos:

$$I_Z = \int c^2 dm$$

Analisando a geometria da figura, é fácil perceber que a distância $c$ (linha tracejada em azul) está relacionada com as distâncias $a$ e $b$ -- representadas respectivamente, pela linha tracejada em vermelho e linha tracejada em amarelo -- por meio do teorema de Pitágoras. Ou seja, 

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Unindo as duas últimas equações, podemos expressar:

$$I_Z = \int (a^2 + b^2) dm$$

Daí, 

$$I_Z = \int a^2 dm + \int b^2 dm$$

Onde

$$\int a^2 dm$$

é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo $X$, $I_X$. De forma análoga,

$$\int b^2 dm$$

é o momento de inércia do corpo em relação ao  eixo $Y$, $I_Y$. Assim, podemos escrever:

$$I_Z = I_X + I_Y$$

Portanto, a expressão acima relaciona o momento de inércia de um corpo rígido plano em relação a um eixo perpendicular ao seu plano com os momentos de inércia medidos em relação aos eixos $X$ e $Y$ que se interceptam em um ponto.

Aro equivalente e Raio de Giração

Considere um corpo qualquer de massa $M$ com momento de inércia $I$ em relação a um eixo qualquer. Podemos substituir esse corpo por um aro de mesma massa $M$ e raio $K$ de tal forma que  o momento de inércia do aro, $I_{aro}$, seja igual ao momento de inércia desse corpo. Assim podemos, expressar:

$$I = I_{aro} = Mk^2$$

O valor de $k$ é definido como raio de giração. Do ponto de vista físico, o raio de giração representa a distância a partir do eixo de rotação na qual toda a massa do corpo poderia ser concentrada para resultar no mesmo momento de inércia. Da equação acima, determinamos uma expressão para $k$: 

$$k = \sqrt \frac{I}{M} $$

O raio de giração pode ser útil para facilitar a visualização da distribuição de massa de corpos complexos. De modo geral, um maior momento de inércia corresponde a um raio de giração maior, o que indica que a massa está distribuída mais  distante do eixo de referência.

Teorema dos Eixos Paralelos em Termos do Raio de Giração

Do teorema dos eixos paralelos, temos: 

$$ I = I_{CM} + Mh^2$$

Dividindo ambos os membros pela massa total $M$, obtemos: 

$$ \frac{I}{M} = \frac{I_{CM}}{M} + h^2$$

Da expressão do raio de giração e da ultima equação, podemos escrever: 

$$ k^2 = k_{CM}^2 + h^2$$

Essa equação mostra que o raio de giração $k$ em relação a um eixo qualquer é dado pelo raio de giração $k_{CM}$ em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, acrescido da distância $h$ entre os dois eixos. Isto é, o deslocamento do eixo de referência em relação ao centro de massa contribui para o aumento do raio de giração do corpo.

Teorema dos Eixos Perpendiculares em Termos do Raio de Giração

Pelo teorema dos eixos perpendiculares, sabemos que

$$I_Z = I_X + I_Y$$

Dividindo ambos os membros pela massa total $M$, expressamos:

$$\frac{I_Z}{M}=\frac{I_X}{M} + \frac{I_Y}{M}$$

Assim, 
$$k_Z^2=k_X^2 + k_Y^2$$

Essa expressão mostra que o raio de giração em relação a um eixo perpendicular ao plano do corpo ($k_Z$) está relacionado aos raios de giração em relação aos eixos ortogonais contidos no plano do corpo ($k_X$ e $k_Y$).

Bibliografia 

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 8ª ed. Rio De Janeiro: Ltc, 2009. v. 1

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. 1, Mecânica. São Paulo, Brasil: Blucher, 2018.




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