Lista de questões Hidrostática, Fluidos (Capítulo 14) - Resolução das questões - Livro - Fundamentos de física, volume 2, 8ª edição, Halliday - Resnick

Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 11: Alguns membros da tripula¸ao tentam escapar de
um submarino avariado 100 m abaixo da superf´ıcie. Que for¸ca deve ser aplicada a uma
escotilha de emergˆencia, de 1,2 m por 0,60 m, para abri-la para o lado de fora nessa
profundidade? Suponha que a massa espec´ıfica da ´agua do oceano ´e 1024 kg/m
Solu¸ao:
Sabemos que a press˜ao (P ) ´e a rela¸ao entre uma for¸ca perpendicular (F ) aplicada
e o elemento de ´area de uma superf´ıcie (A). Assim, para determinar a for¸ca m´ınima
necess´aria para abrir uma escotilha de emergˆencia nas condi¸oes descritas no problema, ´e
necess´ario conhecer a press˜ao a que ela est´a submetida e a ´area de sua superf´ıcie. Dessa
forma, podemos expressar:
P =
F
A
(1)
da´ı,
F = P · A (2)
mas, pela lei de Stevin
P = P
0
+ ρ
´agua
· g · h
Entretanto, dentro do submarino, podemos assumir que a press˜ao interna ´e equivalente `a
press˜ao atmosf´erica P
0
(caso contr´ario, a presen¸ca de tripulantes seria invi´avel). Assim,
a press˜ao sobre a escotilha ´e a press˜ao manom´etrica dada por:
P = ρ
´agua
· g · h
segue que
F = (ρ
´agua
· g · h) · A (3)
De acordo com o enunciado A = 1, 2 · 0, 60 m
2
, h = 100 m. Substituindo esses valores
na equa¸ao 3 e considerando g = 9, 81 m/s
2
, obtemos a for¸ca m´ınima necess´aria para
abrir a escotilha: F = 7, 2 · 10
5
N
1
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 16: Na Figura, um tubo aberto, de comprimento L =
1,8 m e ´area da se¸ao reta A = 4,6 cm
2
, penetra na tampa de um barril cil´ındrico de
diˆametro D = 1,2 m e altura H = 1,8 m. O barril e o tubo est˜ao cheios d’´agua (at´e o alto
do tubo). Calcule a raz˜ao entre a for¸ca hidrost´atica que age sobre o fundo do barril e a
for¸ca gravitacional que age sobre a ´agua contida no barril. Por que a raz˜ao ao ´e igual a
1,0? (N˜ao ´e necess´ario levar em conta a press˜ao atmosf´erica.)
Solu¸ao:
A raz˜ao r entre a for¸ca hidrost´atica F
H
no fundo do barril e a for¸ca gravitacional F
g
sobre a massa de ´agua contida no barril ´e dada por:
r =
F
H
F
g
(1)
A for¸ca hidrost´atica pode ser calculada a partir da rela¸ao entre a press˜ao P e a ´area
A da superf´ıcie no fundo do barril. Vejamos:
F
H
= P · A (2)
pela lei de Stevin, sem considerar a press˜ao atmosf´erica,temos:
F
H
= ρ
´agua
· g · h · A = ρ
´agua
· g · (L + H) · A (3)
onde h = L + H.
Por outro lado, a for¸ca gravitacional exercida pela massa de ´agua m
´agua
contida no
barril pode ser determinada por:
F
g
= m
´agua
· g (4)
Entretanto, como m
´agua
= ρ
´agua
· V
barril
e V
barril
= A · H, temos:
F
g
= ρ
´agua
· A · H · g (5)
Substituindo a equa¸ao 3 e a equa¸ao 5 na equa¸ao 1, temos:
r =
ρ
´agua
· g · (L + H) · A
ρ
´agua
· A · H · g
(6)
simplificando,
r =
(L + H)
H
(7)
Substituindo os valores fornecidos, obtemos r = 2. Ou seja, a for¸ca hidrost´atica no fundo
do barril ´e duas vezes maior que o peso da massa de ´agua nele contida. Isso ocorre porque
a for¸ca hidrost´atica no fundo do barril ´e diretamente proporcional `a altura da coluna de
´agua, enquanto a for¸ca gravitacional ´e proporcional `a massa de ´agua presente no barril.
Em outras palavras, o comprimento L do tubo com ´agua faz toda a diferen¸ca, impedindo
que as for¸cas sejam iguais em odulo, o que resultaria em uma raz˜ao r = 1.
2
Cap´ıtulo - 14, problema 22: O tanque em forma de L mostrado na Figura est´a
cheio d’´agua e ´e aberto na parte de cima. Se d = 5,0 m, qual ´e a for¸ca exercida pela ´agua
(a) na face A e (b) na face B?
Solu¸ao:
Pela Lei de Stevin, podemos facilmente determinar a press˜ao em qualquer ponto dentro
do recipiente. Desse modo, relacionando a press˜ao exercida com a ´area de cada face,
podemos calcular a for¸ca atuante na face A e na face B.
Na face A, todos os pontos est˜ao `a mesma profundidade, o que implica que a press˜ao
´e uniforme em toda a superf´ıcie. Assim, pela Lei de Stevin, determinamos a press˜ao da
seguinte forma:
P = P
0
+ ρ
´agua
· g · h (1)
Observando a figura, ´e acil notar que a ´area da face A ´e dada por:
A
A
= d
2
(2)
Relacionando For¸ca F , press˜ao P e
´
Area A
A
, temos:
F = P · A
A
(3)
substituindo a equa¸ao (1) e equa¸ao (2) na equa¸ao (3), temos:
F = (P
0
+ ρ
´agua
· g · h) · d
2
(4)
Sendo
P
0
= 1, 01 · 10
5
P a , ρ
´agua
= 1, 0 · 10
3
kg/m
3
, g = 9, 81 m/s
2
e h = 2d
. A for¸ca exercida sobre a face A ´e: F = 5, 0 · 10
6
N
Em contrapartida, na face B, a uma diferen¸ca de profundidade entre os pontos que
a comp˜oem, o que implica que a press˜ao ao ´e uniforme. Portanto, para calcular a for¸ca
total sobre a superf´ıcie, ´e necess´ario somar todas as contribui¸oes infinitesimais de for¸ca
dF , devido `a varia¸ao da press˜ao com a profundidade h, aplicadas sobre cada elemento
infinitesimal de ´area dA da face B, em fun¸ao das varia¸oes infinitesimais de profundidade
dh. Essa contribui¸ao infinitesimal de for¸ca dF pode ser expressa pela rela¸ao:
dF = P (h) · dA (5)
Onde a press˜ao P (h), que depende da profundidade h, ´e dada por:
P (h) = P
0
+ ρ
´agua
· g · h (6)
O lado da face B perpendicular `a profundidade permanece constante. Assim, a ´area
infinitesimal dA ´e dada por:
dA = d · dh (7)
Substituindo as equa¸oes (6) e (7) na equa¸ao (5), obtemos a contribui¸ao infinitesimal
da for¸ca dF devido `a varia¸ao infinitesimal de profundidade dh:
dF = (P
0
+ ρ
´agua
· g · h) · d · dh (8)
3
Agora, para calcular a for¸ca total F , devemos integrar essas contribui¸oes ao longo da
face B. Assim, podemos escrever:
Z
dF =
Z
(P
0
+ ρ
´agua
· g · h) · d · dh (9)
A face B come¸ca na altura h = 2d e termina no fundo, onde a altura ´e h = 3d. Utilizando
esses valores como limites inferior e superior da integral, segue que:
F =
Z
3d
2d
(P
0
+ ρ
´agua
· g · h) · d · dh (10)
Assim,
F =
"
P
0
· h
2d
3d
+ ρ
´agua
· g ·
h
2
2
2d
3d
#
· d (11)
Da´ı,
F =
P
0
· d + ρ
´agua
· g ·
5d
2
2

· d (12)
Resultando:
F = P
0
· d
2
+ ρ
´agua
· g ·
5d
3
2
(13)
Substituindo os valores, obtemos F = 5, 6 · 10
6
N.
4
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 28: Um ˆembolo com uma se¸ao reta a ´e usado em uma
prensa hidr´aulica para exercer uma pequena for¸ca de odulo f sobre um l´ıquido que est´a
em contato, por meio de um tubo de liga¸ao, com um ˆembolo maior de se¸ao reta A (Veja
a figura). (a) Qual ´e o odulo F da for¸ca que deve ser aplicada ao ˆembolo maior para
que o sistema fique em equil´ıbrio? (b) Se os diˆametros dos ˆembolos ao 3,80 cm e 53,0
cm, qual ´e o odulo da for¸ca que deve ser aplicada ao ˆembolo menor para equilibrar uma
for¸ca de 20,0 kN aplicada ao ˆembolo maior?
Solu¸ao:
Sabemos que uma for¸ca aplicada perpendicularmente sobre um elemento de ´area cria
uma press˜ao. Desse modo, no contexto do problema, a for¸ca f aplicada sobre a se¸ao reta
a gera uma varia¸ao de press˜ao p sobre o l´ıquido. Pelo princ´ıpio de Pascal, essa varia¸ao
de press˜ao ´e transmitida para todo o l´ıquido e para as paredes do recipiente, de tal modo
que a press˜ao sobre o ˆembolo de se¸ao reta A (p
A
) ´e igual `a press˜ao sobre o ˆembolo de
se¸ao reta a (p
a
). Em decorrˆencia disso, podemos expressar:
p
a
= p
A
(1)
Mas, p
a
=
f
a
e p
A
=
F
A
. Assim,
f
a
=
F
A
(2)
Da´ı
A
a
f = F (3)
Enao, o odulo da for¸ca F que deve ser aplicada para o sistema manter o equil´ıbrio ´e:
F =
A
a
f.
Para o ´ıtem (b) modificamos a equa¸ao (3) para:
f =
a
A
F (4)
De acordo com o enunciado,
F = 2, 0 · 10
4
N , A = π ·
53, 0
2
2
cm
2
e a = π ·
3, 80
2
2
cm
2
Assim,
f =
π ·
3,80
2
2
π ·
53,0
2
2
· 2, 0 · 10
4
(5)
Resutando f = 103 N
5
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 29: Na Figura, uma mola de constante el´astica 3, 00 ·
10
4
N/m liga uma viga r´ıgida ao ˆembolo de sa´ıda de um macaco hidr´aulico. Um recipiente
vazio, de massa desprez´ıvel, est´a sobre o ˆembolo de entrada. O ˆembolo de entrada tem
uma ´area A
e
e o ˆembolo de sa´ıda tem uma ´area 18, 0A
e
. Inicialmente, a mola est´a relaxada.
Quantos quilogramas de areia devem ser despejados (lentamente) no recipiente para que
a mola sofra uma compress˜ao de 5, 00 cm?
Solu¸ao:
Na situa¸ao descrita no enunciado, a for¸ca respons´avel por comprimir a mola ´e a for¸ca
hidr´aulica F
H
, gerada pela varia¸ao de press˜ao decorrente da adi¸ao de areia ao recipiente
vazio. Essa adi¸ao provoca uma for¸ca peso F
p
aplicada sobre o ˆembolo de entrada. Assim,
pelo princ´ıpio de Pascal, temos:
p
e
= p
s
, (1)
onde p
e
=
F
p
A
e
e p
s
=
F
H
18, 0A
e
. Ent˜ao, escrevemos:
F
p
A
e
=
F
H
18, 0A
e
,
da´ı,
F
p
=
F
H
18, 0
. (2)
Pela Lei de Hooke, a for¸ca necess´aria para comprimir ou esticar a mola ´e igual, em odulo,
`a for¸ca el´astica restauradora exercida pela mola. Assim, temos:
F
H
= K · y, (3)
onde K ´e a constante el´astica da mola e y ´e a elonga¸ao da mola. Sendo a for¸ca peso F
p
,
devida `a massa de areia m
areia
, expressa por:
F
p
= m
areia
· g. (4)
Substituindo as equa¸oes (3) e (4) na equa¸ao (2), obtemos:
m
areia
· g =
K · y
18, 0
. (5)
Isolando m
areia
:
m
areia
=
K · y
18, 0 · g
. (6)
Substituindo os valores do enuncado, obtemos m
areia
= 8, 50 Kg
6
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 37: Uma esfera oca, de raio interno 8, 0 cm e raio ex-
terno 9, 0 cm, flutua com metade do volume submerso em um l´ıquido de massa espec´ıfica
800 kg/m
3
. (a) Qual ´e a massa da esfera? (b) Calcule a massa espec´ıfica do material de
que ´e feita a esfera.
Solu¸ao:
De acordo com o Princ´ıpio de Arquimedes, todo corpo, total ou parcialmente imerso
em um fluido sofre uma for¸ca resultante, geralmente para cima, chamada empuxo E, cujo
odulo ´e igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Quando o corpo flutua,
o empuxo tem odulo igual ao da for¸ca peso P do corpo. Nesta condi¸oes, podemos
expressar:
E = P. (1)
Sendo
E = ρ
fluido
· V
imerso
· g, (2)
P = m
esfera
· g. (3)
Assim,
ρ
fluido
· V
imerso
· g = m · g, (4)
da´ı
m
esfera
= ρ
fluido
· V
imerso
. (5)
Como o raio interno ao influencia no volume de fluido deloscado, temos:
V
imerso
=
V
esfera
2
=
4πR
3
e
3 · 2
. (6)
Enao,
m
esfera
= ρ
fluido
·
2πR
3
e
3
. (7)
Substituindo os valores conhecidos, obtemos m
esfera
= 1, 22 kg.
A massa espec´ıfica do material da esfera ´e dada pela raz˜ao entre a massa da esfera e
o volume correspondente `a distribui¸ao de sua massa. Vejamos:
ρ
material
=
m
esfera
V
esfera
. (8)
Como
V
esfera
=
4π(R
3
e
R
3
i
)
3
. (9)
Logo,
ρ
material
=
3 · m
esfera
4π(R
3
e
R
3
i
)
. (10)
Substituindo os valores conhecidos, temos ρ
material
= 1, 3 · 10
3
kg/m
3
7
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 39: Que fra¸ao do volume de um iceberg (massa espec´ıfica
917 kg/m
3
) ´e vis´ıvel se o iceberg flutua (a) no mar agua salgada, massa espec´ıfica
1024 kg/m
3
) e (b) em um rio agua doce, massa espec´ıfica 1000 kg/m
3
)? (Quando a
´agua congela para formar gelo, o sal ´e deixado de lado. Assim, a ´agua que resulta do
degelo de um iceberg pode ser usada para beber.)
Solu¸ao:
Sabemos que a condi¸ao para um corpo flutuar em um fluido ´e a equivalˆencia entre o
odulo da for¸ca de empuxo E exercida sobre o corpo e o odulo da for¸ca peso P do corpo.
Dessa forma, ´e poss´ıvel relacionar o volume de fluido deslocado pelo iceberg, V
imerso
, com
o volume total do iceberg, V
iceberg
. Ent˜ao, expressamos:
E = P. (1)
Sendo
E = ρ
fluido
· V
imerso
· g (2)
e
P = m
iceberg
· g, (3)
temos:
ρ
fluido
· V
imerso
· g = m
iceberg
· g. (4)
Da´ı,
ρ
fluido
· V
imerso
= m
iceberg
. (5)
Mas,
m
iceberg
= ρ
iceberg
· V
iceberg
. (6)
Logo,
ρ
fluido
· V
imerso
= ρ
iceberg
· V
iceberg
. (7)
Resultando:
V
imerso
V
iceberg
=
ρ
iceberg
ρ
fluido
(8)
A equa¸ao (8) representa a fra¸ao do volume do iceberg que est´a submersa e, portanto,
ao vis´ıvel. No entanto, o enunciado solicita a fra¸ao vis´ıvel.
´
E acil perceber que a soma
dessas duas fra¸oes deve ser igual a 1. Assim, podemos expressar:
V
imerso
V
iceberg
+
V
vis´ıvel
V
iceberg
= 1. (9)
Da´ı,
V
vis´ıvel
V
iceberg
= 1
V
imerso
V
iceberg
. (10)
Da equa¸ao (8), temos:
V
vis´ıvel
V
iceberg
= 1
ρ
iceberg
ρ
fluido
. (11)
Substituindo os valores conhecidos, encontramos:
V
vis´ıvel
V
iceberg
=
107
1024
= 0, 1 = 10% (12)
8
Agora, para as condi¸oes do ´ıtem (b), a equa¸ao (11) fica:
V
vis´ıvel
V
iceberg
= 1
917
1000
=
83
1000
= 0, 083 = 8, 3%. (13)
9
Livro - Fundamentos de f´ısica, volume 2, 8ª edi¸ao, Halliday - Resnick
Cap´ıtulo - 14, problema 46: Um bloco de madeira tem massa de 3, 67 kg e massa
espec´ıfica de 600 kg/m
3
. Ele deve ser carregado de chumbo (1, 14 · 10
4
kg/m
3
) para
flutuar na ´agua com 0,900 do volume submerso. Que massa de chumbo ´e necess´aria se o
chumbo for colado (a) no alto do bloco e (b) na base do bloco?
Solu¸ao:
Para que um corpo flutue em um fluido, ´e necess´ario que o odulo da for¸ca de empuxo
E, que atua sobre o sistema madeira-chumbo, seja igual ao odulo da for¸ca peso P do
sistema. Assim, ´e poss´ıvel estabelecer uma rela¸ao entre o volume de fluido deslocado,
V
imerso
, e a massa de chumbo, m
chumbo
, necess´aria para garantir as condi¸oes de flutua¸ao
apresentadas no enunciado. Enao, expressamos:
E = P, (1)
onde
E = ρ
fluido
· V
imerso
· g (2)
e
P = (m
madeira
+ m
chumbo
) · g. (3)
Assim,
ρ
fluido
· V
imerso
· g = (m
madeira
+ m
chumbo
) · g, (4)
da´ı,
ρ
fluido
· V
imerso
= m
madeira
+ m
chumbo
. (5)
Para o caso do item (a), o material de chumbo ´e colocado sobre o bloco. Assim, o vol-
ume do material de chumbo ao contribui para o volume de fluido deslocado, V
imerso
. Por-
tanto, a partir da equa¸ao (5) e da condi¸ao descrita no enunciado, V
imerso
= 0, 9V
madeira
,
podemos escrever:
m
chumbo
= ρ
fluido
· 0, 9 · V
madeira
m
madeira
. (6)
Mas,
V
madeira
=
m
madeira
ρ
madeira
. (7)
Logo, de (6) e (7) segue que
m
chumbo
= ρ
fluido
· 0, 9 ·
m
madeira
ρ
madeira
m
madeira
. (8)
Simplificando:
m
chumbo
=
0, 9 ·
ρ
fluido
ρ
madeira
1
· m
madeira
. (9)
Substituindo os valores conhecidos e considerando ρ
fluido
= 1, 00 · 10
3
kg/m
3
, obtemos
m
chumbo
= 1, 84 kg
Para a situa¸ao do item (b), o material de chumbo ´e colocado abaixo do bloco. Dessa
forma, ´e necess´ario considerar a contribui¸ao do volume do material de chumbo para o
volume de fluido deslocado, V
imerso
. Assim, com base na equa¸ao (5), podemos expressar:
m
chumbo
= ρ
fluido
· V
imerso
m
madeira
. (10)
10
Respeitando as condi¸oes do problema, o volume de fluido deslocado, ´e dado por:
V
imerso
= 0, 9 · V
madeira
+ V
chumbo
. (11)
Mas,
V
chumbo
=
m
chumbo
ρ
chumbo
. (12)
Assim, substituindo as equa¸oes (7), (11) e (12) na equa¸ao (10), temos:
m
chumbo
= ρ
fluido
·
0, 9 ·
m
madeira
ρ
madeira
+
m
chumbo
ρ
chumbo
m
madeira
. (13)
Simplificando e explicitando m
chumbo
:
m
chumbo
= 0, 9 ·
ρ
fluido
ρ
madeira
· m
madeira
+
ρ
fluido
ρ
chumbo
· m
chumbo
m
madeira
(14)
m
chumbo
ρ
fluido
ρ
chumbo
· m
chumbo
= 0, 9 ·
ρ
fluido
ρ
madeira
1
· m
madeira
(15)
1
ρ
fluido
ρ
chumbo
· m
chumbo
= 0, 9 ·
ρ
fluido
ρ
madeira
1
· m
madeira
(16)
m
chumbo
=
0, 9 ·
ρ
f luido
ρ
madeira
1
· m
madeira
1
ρ
f luido
ρ
chumbo
. (17)
Por´em, apartir da equa¸ao (9) e do resultado do ´ıtem (a), temos:
m
chumbo
=
1, 84
1
ρ
f luido
ρ
chumbo
. (18)
Substituindo os valores conhecidos, obtemos: m
chumbo
= 2, 01 kg.
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